miércoles, 26 de octubre de 2011

SISTEMA DE ECUACIONES





Problemas sobre sistemas de ecuaciones. 


1.- Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.

2.- Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80 $. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan 13,20 $. ¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el de manzanas?

3.- Para pagar un artículo que costaba 3 $, he utilizado nueve monedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado?

4.- Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,3 $ por cada pieza que sale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0,4 $ por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 2 100 bombillas, obteniendo unos beneficios de 484,4 $. ¿Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se han fabricado en ese día?

5.- Una empresa aceitera ha envasado 3 000 litros de aceite en 1 200 botellas de dos y de cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

6.- En un bar se venden bocadillos de jamón a 3,5 $ y bocadillos de tortilla a 2 $. En una mañana vendieron 52 bocadillos y la recaudación final fue de 149 $. ¿Cuántos se vendieron de cada clase?

7.- En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5, ¿cuántos aciertos y cuántos errores he tenido?

8.- Una empresa fabrica dos tipos de bicicletas, A y B. Para fabricar una del modelo A, se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para una del modelo B, 2 kg de cada uno de esos materiales. Si la empresa dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio, ¿cuántas bicicletas de cada tipo puede fabricar?

9.- He pagado 90,50 $por una camisa y un jersey que costaban, entre los dos, 110 $. En la camisa me han rebajado un 20% y en el jersey, un 15%. ¿Cuál era el precio original de cada artículo?

10.- La edad de Pedro, hoy, es el cuadrado de la de su hija, pero dentro de nueve años será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada uno?









14 comentarios:

Chelo dijo...

Y ahora que estoy jubilada es cuando te he encontrado . No hay derecho . Un abrazo

soy... dijo...

Hay que resolverlos?

por sustitucion

1) x+y = 191
x-y = 67

Despejamos x en la segunda ecuación

x = y+67; sustituimos este valor en la primera ecuación.

y+67 + y = 191; despejamos y

2y = 191-67
y = 124/2

y = 62; sustituimos este valor en una de las dos ecuaciones originales

x-62 = 67
x = 67+62

x = 129; el valor de ambas incógnitas es

x - 129
y = 62


Bueno, supongo que lo subes para que colaboremos con un comentario numérico. Yo inicio con el primero.

soy... dijo...

Resolví el primer ejercicio, pero leyendo detenidamente los demás, me doy cuenta que tengo que resolver otro. veamos el numero 3, ya que el razonamiento aplicado para resolverlo ayuda bastante para comprender mejor los siguientes.

En los ejemplos de aplicación debemos enfocarnos en descubrir las incógnitas; el valor de cada moneda es un dato del problema; las incógnitas en este ejercicio son la CANTIDAD DE VECES QUE SE REPITEN CADA UNO DE ESTOS DATOS. Como observación, tenemos dos unidades para identificar las monedas, el peso y los céntimos; convertiremos todos los valores monetarios a céntimos.

Para comprender mejor, apliquemos álgebra.

Sea x el número total de monedas de 20 céntimos.
sea y el número total de monedas de 50 céntimos.

La cantidad total de moneda de ambas denominaciones es 9, por tanto

x+y = 9 ecuación (1)

Del enunciado deducimos que la cantidad de monedas de 20 céntimos multiplicada por el número de estas a utilizar es 20x; y la cantidad de las de 50 céntimos es 50y. La suma de ambas cantidades es igual al valor total del articulo, 3 pesos, que convertidos equivalen a 300 céntimos.

Expresado algébricamente

20x+50y = 300 ecuación (2)

Relacionando ambas ecuaciones y despejando x en (1)

x = 9-y sustituyendo en (2)

20(9-y)+50y = 300

180-20y+50y = 300
y = 120/30
y = 4

Sustituyendo valor de y en una de las ecuaciones originales, en este caso ecuación(1)por ser la más fácil

x+4 = 9
x = 5

Tenemos como respuesta

x = 5 monedas de 20 céntimos.
y = 4 monedas de 50 céntimos.

Sustituyendo los valores de las incógnitas en ecuación (2)

20(5)+50(4) = 300

Gracias y un saludo.

Elsa dijo...

Chelo,me has hecho sonreír...Un beso,y gracias por la visita!

Elsa dijo...

¡Cuánto trabajo Soy...! Debo decirte que lo has resuelto correctamente.No sólo lo has hecho, sino que te has tomado el trabajo de dar las explicaciones necesarias para llegar al resultado. Eres un maestro!
Gracias por participar y dedicar tu tiempo para resolverlos...

Elsa dijo...

¡Excelente,Soy! Debería colocar tu explicación en la entrada para que los alumnos aprendieran a resolver el sistema.Has colaborado magníficamente con esta entrada.GRACIAS!!!
Un abrazo,amigo!

disancor dijo...

Feliz fin de semana y feliz puente.
Un saludo.

Elsa dijo...

¡Gracias disancor! Lo mismo para vos...saludos cordiales!

soy... dijo...

Bueno, veo que no han continuado realizando más problemas. Para que no queden todas sin respuestas, resolveré el ejercicio 7.

Sea

x el número de respuestas correctas
y el número de respuestas incorrectas

Sabemos que todas las respuestas suman 30, por tanto

x + y = 30 ecuación (1)

Pensemos un poquito. Si restamos la suma de las respuestas correctas y las incorrectas el resultado es 10.5, según el mandato del problema. pero por cada respuesta correcta debemos sumar 0.75, de ahi que si tenemos dos respuestas correctas tenemos 0.75 + 0.75 o 2 x( 0.75), si son 3 respuestas correctas tendremos 3 x(0.75), y si son x cantidad de respuestas correctas serán, analogamente 3(X) o 3X. Lo mismo para y, tenemos 0.25y respuestas incorrectas.

Algebraicamente

0.75x - 0.25y = 10.5 ecuación (2)

Despejando x en ecuación (1)

x = 30 - y

sustituyendo valor de x en ecuacion (2)

0.75(30-y) - 0.25y = 10.5

22.5-0.75y - 0.25y = 10.5

-y = 10.5 - 22.5

y = 12

Sustituyendo valor de y en ecuación (1)

x + 12 = 30

x = 18

Solucion

x = 18 respuestas correctas.
y = 12 respuestas incorrectas.

Elsa dijo...

Parece que somos los únicos dos que nos encanta la Matemática, Soy...yo no los resuelvo porque estás como colaborador,y es tu tarea... jajajaja....
Un abrazo!

Chelo dijo...

Te acabo de poner un comentario y se ha perdio no puede ser, con el trabajo que me había costado

Chelo dijo...

Te lo vuelvo a poner, te decía que me ha llegado al alma que digas que a los únicos que os gustan las matemáticas es a vosotros , no sabía que habia que resolverlos y ahí llevas la solución del nº 10

Chelo dijo...

Sea
x la edad de la hija hoy
y la edad de Pedro hoy

x + 9 la edad de la hija dentro de nueve años
y + 9 la edad de Pedro dentro de nueve años , pues el tiempo pasa para los dos

Volvemos a leer el problema e intentamos aplicar el enunciado a esos datos

Si la edad de Pedro hoy es el cuadrado de la de su hija tenemos que

y = x^2 ( 1ª ecuación )

Si la edad de Pedro dentro de 9 años es el triple de la que la hija tiene en ese momento tenemos que

y + 9 = 3( x + 9 ) ( 2ª ecuación )

Sistema:

y = x^2
y + 9 = 3( x + 9 )

lo resolvemos por el método de sustitución.
El valor de y en la 1ª ecuación lo sustituimos en la y en la 2ª nos queda

x^2 + 9 = 3( x + 9 )
x^2 + 9 = 3x + 27
x^2-3x + 9 -27 = 0
x^2-3x -18= 0

Ecuación de segundo grado que la resolvemos y da como solución

X = 6 y x = -3 como los años han de ser un número natural descartamos el valor – 3 y por lo tanto la solución será

6 años la edad de la hija hoy y 36 la edad de Pedro

Comprobación

Dentro de 9 años la hija tendrá 15 y el Pedro tendrá 36 + 9 = 45 y efectivamente 45 es el triple de 15 luego está bien resuelto.

Elsa dijo...

Mi comentario fue adrede,Chelo...sabía que te encantan los números. Y lo puse como un desafío,y me dio resultado,jajajaja...lo has hecho excelente!
Te quiero,amiga.
Un beso.

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